一次函數與反比例函數綜合題3 - 下載本文

反比例函數與動點P 與面積相關

例1、(2010?北京)已知反比例函數y=的圖象經過點A(﹣,1). (1)試確定此反比例函數的解析式;

(2)點O是坐標原點,將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB.判斷點B是否在此反比例函數的圖象上,并說明理由;

(3)已知點P(m,m+6)也在此反比例函數的圖象上(其中m<0),過P點作x軸的垂線,交x軸于點M.若線段PM上存在一點Q,使得△OQM的面積是,設Q點的縱坐標為

2

n,求n﹣2n+9的值.

考點:反比例函數綜合題;待定系數法求反比例函數解析式;旋轉的性質。 專題:綜合題。

分析:(1)由于反比例函數y=的圖象經過點A(﹣,1),運用待定系數法即可求出此反比例函數的解析式;

(2)首先由點A的坐標,可求出OA的長度,∠AOC的大小,然后根據旋轉的性質得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出點B的坐標,進而判斷點B是否在此反比例函數的圖象上; (3)把點P(m,m+6)代入反比例函數的解析式,得到關于m的一元二次方程;根據題意,可得Q點的坐標為(m,n),再由△OQM的面積是,根據三角形的面積公式及m<0,

2

得出mn的值,最后將所求的代數式變形,把mn的值代入,即可求出n﹣2n+9的值. 解答:解:(1)由題意得1=,解得k=﹣, ∴反比例函數的解析式為y=﹣;

(2)過點A作x軸的垂線交x軸于點C.

在Rt△AOC中,OC=,AC=1,

∴OA==2,∠AOC=30°,

∵將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB, ∴∠AOB=30°,OB=OA=2, ∴∠BOC=60°.

過點B作x軸的垂線交x軸于點D.

在Rt△BOD中,BD=OB?sin∠BOD=,OD=OB=1, ∴B點坐標為(﹣1,),

將x=﹣1代入y=﹣中,得y=,

∴點B(﹣1,)在反比例函數y=﹣的圖象上.

(3)由y=﹣得xy=﹣,

∵點P(m,m+6)在反比例函數y=﹣的圖象上,其中m<0, ∴m(m+6)=﹣,

2

∴m+2m+1=0,

∵PQ⊥x軸,∴Q點的坐標為(m,n). ∵△OQM的面積是, ∴OM?QM=,

∵m<0,∴mn=﹣1,

∴mn+2mn+n=0∴n﹣2n=﹣1,∴n﹣2n+9=8. .

例2、已知:反比例函數經過點B(1,1). (1)求該反比例函數解析式;

(2)連接OB,再把點A(2,0)與點B連接,將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′,寫出A′B′的中點P的坐標,試判斷點P是否在此雙曲線上,并說明理由; (3)若該反比例函數圖象上有一點F(m,)(其中m>0),在線段OF上任取一點E,設E點的縱坐標為n,過F點作FM⊥x軸于點M,連接EM,使△OEM的面積是,求代數式的值.

考點:反比例函數綜合題。

分析:(1)函數式y=,且過(1,1)點,代入可確定k的值,從而求出函數式. (2)因為△OAB是等腰直角三角形,旋轉后求出A和B的坐標,從而求出AB中點的坐標,可判斷是否在雙曲線線上.

(3)因為EH=n,0M=m,△OEM的面積是,從而可求出n和m的關系式,因為F在反比例函數圖象上,代入函數式,可求出結果.

解答:解:(1)反比例函數解析式:;(1分)

(2)∵已知B(1,1),A(2,0) ∴△OAB是等腰直角三角形 ∵順時針方向旋轉135°, ∴B′(0,﹣),A(﹣,﹣) ∴中點P為(﹣,﹣).(2分) ∵(﹣)?(﹣)=1(3分) ∴點P在此雙曲線上.(4分)

(3)∵EH=n,0M=m ∴S△OEM===, ∴m=(5分)

又∵F(m,)在函數圖象上 ∴=1.(6分)

將m=代入上式,得﹣=1,

2

∴n+=,

2

∴n+﹣2=.(7分)

′′

222222

3、如圖,M點是正比例函數y=kx和反比例函數的圖象的一個交點. (1)求這兩個函數的解析式;

(2)在反比例函數的圖象上取一點P,過點P做PA垂直于x軸,垂足為A,點Q是直線MO上一點,QB垂直于y軸,垂足為B,直線MO上是否存在這樣的點Q,使得△OBQ的面積是△OPA的面積的2倍?如果存在,請求出點Q的坐標,如果不存在,請說明理由.

考點:反比例函數綜合題。

分析:(1)從圖象上可看到正比例函數y=kx和反比例函數y=都過(1,2)點,從而可求出函數式.

(2)P是反比例函數上的一點,過點P做PA垂直于x軸,垂足為A,所以△OPA的面積是m,點Q是直線MO上一點,QB垂直于y軸,垂足為B,Q點的坐標為(x,kx),所以根據△OBQ的面積是△OPA的面積的2倍可列方程求解. 解答:解:(1)∵y=kx過(﹣1,2)點, ∴k=﹣2, ∴y=﹣2x.

∵y=過(﹣1,2)點, ∴m=﹣2. ∴y=﹣;

(2)∵△OPA的面積是m=1,Q點的坐標為(x,﹣2x), ∴?|x|?|﹣2x|=2, x=±,

因為在第二象限所以Q點的坐標為(﹣,2),或(,﹣2).

例4、(2010?寧夏)如圖,已知:一次函數:y=﹣x+4的圖象與反比例函數:(x>0)的圖象分別交于A、B兩點,點M是一次函數圖象在第一象限部分上的任意一點,過M分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為M1、M2,設矩形MM1OM2的面積為S1;點N為反比例函數圖象上任意一點,過N分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為N1、N2,設矩形NN1ON2的面積為S2;

(1)若設點M的坐標為(x,y),請寫出S1關于x的函數表達式,并求x取何值時,S1的最大值;

(2)觀察圖

形,通過確定x的取值,試比較S1、S2的大小.

考點:反比例函數綜合題;一次函數的圖象。 專題:計算題。

分析:(1)已知M點坐標,根據M點在一次函數:y=﹣x+4的圖象上,代入把M點縱坐標用x表示出來,從而表示出矩形MM1OM2的面積為S1;(2)觀察圖形S1、S2,觀察反比例函數在一次函數上方還是下方,從而比較其大小.

解答:解:(1)∵M的坐標為(x,y),M點在還函數y=﹣x+4的圖象上, ∴y=﹣x+4,

22

∴S1=xy=x(﹣x+4)=﹣x+4x=﹣(x﹣2)+4, 當x=2時,S1最大值=4;

(2)設N(x1,y1),點N在反比例函數:圖象上, ∴S2=x1×y1=2,

22

由S1=S2可得:﹣x+4x=2,即x﹣4x﹣2=0, ∴,

通過觀察圖象可得: 當時,S1=S2, 當或時,S1<S2, 當時,S1>S2..

5、如圖,已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)為雙曲線上的一點,Q為坐標平面上一動點,PA垂直于x軸,QB垂直于y軸,垂足分別是A、B.

(1)寫出正比例函數和反比例函數的關系式;

(2)當點Q在直線MO上運動時,直線MO上是否存在這樣的點Q,使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在,請求出點的坐標,如果不存在,請說明理由.

考點:反比例函數綜合題。 專題:代數綜合題。

分析:(1)設反比例函數的解析式為y=,正比例函數的解析式為y=k′x.把點M(﹣2,﹣1)分別代入其函數解析式,運用待定系數法即可求出對應的函數的關系式;

(2)當點Q在直線MO上運動時,假設在直線MO上存在這樣的點Q(x,x),使得△OBQ與△OAP面積相等,則B(0,x).根據三角形的面積公式列出關于x的方程,解方程即可. 解答:解:(1)設反比例函數的解析式為y=,正比例函數的解析式為y=k′x. ∵正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M(﹣2,﹣1), ∴﹣1=,﹣1=﹣2k′, ∴k=2,k′=.

∴正比例函數的解析式為y=x,反比例函數的解析式為y=.

(2)當點Q在直線MO上運動時,假設在直線MO上存在這樣的點Q(x,x),使得△OBQ與△OAP面積相等,則B(0,x).

∵S△OBQ=S△OAP, ∴?xx=×2×1, 解得x=±2.

當x=2時,x=1; 當x=﹣2時,x=﹣1.

故在直線MO上存在這樣的點Q(2,1)或(﹣2,﹣1),使得△OBQ與△OAP面積相等. 例6、(2009?郴州)如圖1,已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)為雙曲線上的一點,Q為坐標平面上一動點,PA垂直于x軸,QB垂直于y軸,垂足分別是A、B.

(1)寫出正比例函數和反比例函數的關系式;

(2)當點Q在直線MO上運動時,直線MO上是否存在這樣的點Q,使得△OBQ與△OAP面積相等如果存在,請求出點的坐標,如果不存在,請說明理由;

(3)如圖2,當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時,作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平行四邊形OPCQ周長的最小





街机千炮捕鱼2016 河北快3中奖几率 淘股吧炒股高手论坛 北京快3路 江西快三走势图基本图 路易泽配资 双彩网幸运飞艇开奖 短线操作股票推荐 排列五开奖结果彩宝贝 赚q币 pc蛋蛋除外 黑龙江快乐十分走势图 北京快乐8公告 pk10三码必中冠军计划 江苏 pk10高手免费计划群 湖北十一选五推荐 辽宁快乐12开奖结果