微積分第2章習題選解 - 下載本文

?x?, x?0(6) f(x)??x, 在x?0處.

? 1, x?0?xxf(x)limf(x)解 lim ?1,??1, ?lim?limx?0?x?0?x?0?xx?0?x所以x?0是(第一類)跳躍型間斷點.

?x3?1, x?1?(8) f(x)??x?1,在x?1處.

? 3x, x?1?x3?1f(x)?limf(x)?lim3x?3,f(1)?3, 解 lim?3, limx?1x?1x?1x?1?x?1?所以x?1是f(x)的連續點.

?x2?ax?1, x?1,在x?1處連續, 求常數a. 3. 設 f(x)??3?x?2ax?3, x?12f(x)?lim(x?ax?1)?1?a?1, 解 lim?x?1x?1x?1limf(x)?lim(x3?2ax?3)?1?2a?3, ?x?1由題意, 1?a?1?1?2a?3, ?a??2.

1??(1?2x)x, x?05. 試定義f(0)的值, 使得函數 f(x)??在x?0處連續。此時常數a應為

sinx?ax?, x?0x?何值?

f(x)?lim(1?2x)?lim(1?2x)解 lim?x?01x1?22xx?0x?0?e2, ?f(0)?e2.

sinx?axlimf(x)?lim?1?a,

x?0x?0?x22由題意, e?1?a,?a?e?1.

x?2的(第二類)無窮型間斷點, 而x??2是f(x)的(第一2ax?bx?2類)可去型間斷點, 求常數a與b的值.

x?2??, ?a?b?2?0, 解 limf(x)?lim2x?1x?1ax?bx?2?b??a?2.

x?22limf(x)?lim2存在,所以lim(ax?bx?2)?0, x??2x??2x??2ax?bx?2即 4a?2b?2?0,

6.已知x?1是函數f(x)??a?b?2?0, ?a?b??1. ??4a?2b?2?0x?21x?2?. 驗證:limf(x)?lim?limx??2x??2?x2?x?2x??2(x?2)(1?x)3 6

P99 習題2.9

1. 求下列函數的連續區間:

x2?1(1) f(x)?2:x?1, x?3.

x?4x?31(4) f(x)?:x?0,x?1.

lnx?a3x?b3x2, x?1???3. (2)已知函數g(x)?? 為連續函數,試求常數a與b之值。 cosx?2, x?12??x?13解 limg(x)?lim(ax?bx)?a?b, ?x?1x?132sint22???, limg(x)?limlimx?1x2?1t?0?t(2?t)x?1?4?g(x)在x?1處連續,所以 a?b??, (1)

4x??1323limg(x)?lim(ax?bx)??a?b, ?x??1cos?x 令1?x?t ?x 令1?x?t sint22???, limg(x)?limlimx??1x2?1t?0t(t?2)x??1?4?g(x)在x??1處連續,所以 ?a?b??, (2)

4?聯立(1)(2),得 a?0,b??.

41?x?1?x4. 函數f(x)?在x?0處無定義,給f(0)定義一個什么樣的值, 才可使

1?2x?1?2xf(x)在x?0處連續?

解 limf(x)?limx?0cos??1?x?1?x1?2x?1?2x1?2x?1?2x2x1?, ?lim?x?01?x?1?x4x21所以定義 f(0)?,可使f(x)在x?0處連續。

25. (1)若f(x)在x0處連續,g(x)在x0處不連續,問函數f(x)?g(x)是否一定在x0處不連

x?0

續?為什么?

(2)若f(x)在x0處連續,g(x)在x0處不連續,問函數f(x)?g(x)是否一定在x0處不連續?為什么?

解 (1)是。證明:若f(x)?g(x)在x0處連續,則 g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)也在x0處連續,矛盾;

?1?sin, x?0(2)不。例如:f(x)?x,g(x)??,在x?0處。 x??0, x?0

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P105 習題2.10

ex?1ln(1?x)?1, lim?1, 求下列極限: 1. 利用 limx?0x?0xxln(a?x)?lna1ln(1?xa)1?. (1) lim?limx?0x?0xaaxaln(1?an)?a. (2) limn[ln(n?a)?lnn]?a?limn??n??ane?x?1e?x?1??lim(3) lim??1.

x?0x?0x?xeax?1eax?1?a. (a?0) ?a?lim(4) limx?0x?0xax2. 計算下列極限:

x2?x?1x?10?1。 (2) lim(2)x??x?x?31?x?1?x2x?1. (4) lim?limx?0x?0xx(1?x?1?x)sinxa2?xsinx?a(6) lim(a?0) 2x?0x1?xsinxa2?11?xsinx2a2??. ?a?lim?a?lim22x?0x?02axx(1?xe)?lim(1?xe)xe(7) limx?0x1x1xx?exx?0?e1?e.

(8) lim(sinx?1?21x)(x?1)2x?1?tlim(cost)t?lim(1?cost?1)t

t?0t?022???12?12?lim(1?cost?1)?et?02x?x?a?3. 已知 lim???2, 求常數a.

x??x?2a??x?cost?112??t2cost?12?28.

a???x?a??lim1????x??x??x?2ax?2a????所以 a??ln2.

解 lim??x?2aa?(?)?xax?2a?e?a?2,

5. 已知 (4?ax2?b)~(cosx?c) (當x?0), 求常數a ,b與c. 解 由題意, 當x?0時, 4?ax2?b與cosx?c均為無窮小,

所以 b??2, c??1.

ax214?ax2?2?2lim??a?1, limx?0x?012cosx?1?x2?(4?ax2?2)2所以 a??2。

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?x?a2?2x?4?, x?06. 已知 f(x)?? 為連續函數,求常數a與b。 bx? 1 , x?0?x?a2?2x?4解 limf(x)?lim?f(0)?1, a?2,a??2.

x?0x?0bx1x?4?2x?4?x1lim?lim???1, b??. x?0x?04bx4bbx(x?4?2x?4)8. (1) 證明方程x?3x?1至少有一根介于1和2之間。

證明:設f(x)?x?3x?1, f(x)在[1,2]內連續,f(1)??3,f(2)?25, 異號,由零點存在定理,得證。

10. (1)設函數f(x)在?a,b?上連續, 且滿足 [f(a)?a][f(b)?b]?0, 求證方程f(x)?x在(a,b)內至少有一個實根.

(2) 已知函數f(x)在[0,2]上連續, 且有 f(0)?f(2), 求證: 必存在一點??[0,1], 使得

55f(?)?f(??1).

證 作輔助函數 g(x)?f(x?1)?f(x), 則g(x)在[0,1]上連續.

g(0)?f(1)?f(0), g(1)?f(2)?f(1), 而f(0)?f(2), 所以g(1)?f(0)?f(1). 若f(0)?f(1), 則結論成立(??0);

若f(0)?f(1), 則g(0)?g(1)?0, 由零點定理, ???(0,1), 使得 f(?)?f(??1).

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“復習題二”選解

1. 計算下列極限

x3?3x?2(x?1)2(x?2)1(1) lim4 ?lim?x?1x?4x?3x?1(x?1)2(x2?2x?3)2x3?3x?2?x3?1?3(x?1)?(x?1)(x2?x?1?3) ?(x?1)(x2?x?2)?(x?1)2(x?2)

x4?4x?3?x4?1?4(x?1)?(x?1)(x3?x2?x?3) ?(x?1)(x3?1?x2?1?x?1)?(x?1)2(x2?2x?3)

?2?2???3n?1n?12?3?3??(2) limlim?3 nn??2n?3nn???2????1?3?(2x?1)4(x?5)6241(3) lim ??101016x??(4x?1)42arctanxt t?arctanx lim?1 (4) limx?0t?0tantx12xtanx?sinx1?cosx112?(5) lim ?lim?lim?322x?0x?0x?0limcosx2sinxxcosxxx?0n(6) lim(1?x)tanx?1?2x t?1?x limt?cott?0?2t?limt?0ttan?2?t2?.

(7) lim??2x?4??x??2x?1??3x2x?35???lim?1??x???2x?1?23?(?)x2?2x?15(2x?3)?(?)52x?1?e?5 “1?”型

x??2?x???lim?1??(8) lim??x?0x?0?2??2?(9) lim(1?3tanx)x?02?e “1?”型

22cot2x?3221?2cot2x1?lim(1?3tanx)x?0?6

?lim(1?3tanx)3tanx?0n??2x?e6

n??(10) lim?n?ln(n?3)?lnn???limln(n?3n3)?ln[lim(1?)n]?lne3?3

n??nn(11) limnsinn??2?limnn??1nsin2n?2

(12) lim(x?x???x2?x?1)??

x???lim(x?x2?x?1)?limx?1x?x2?x?1x????1 2 10





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